حاسبة التباين الإحصائي

ما هو التباين الإحصائي؟

التباين هو مقياس إحصائي يُحدّد مقدار تشتت أو تباين مجموعة بيانات بالنسبة لمتوسطها الإحصائي. بجوهره، يُشير التباين إلى مدى بُعد القيم الفردية عن معدّل مجموعة البيانات.

بعبارة أبسط، إذا كانت جميع البيانات في مجموعة متشابهة جدًا فيما بينها، سيكون التباين منخفضًا، مما يدل على تشتت قليل. وعلى العكس، إذا تفاوتت البيانات بشكل كبير، سيكون التباين مرتفعًا، مما يُشير إلى تشتت أكبر.

أنواع التباين

يوجد نوعان رئيسيان من التباين يُستخدمان في الإحصاء لقياس تشتت البيانات: التباين العيّني والتباين السكاني. يُطبّق كل منهما في سياقات مختلفة حسب ما إذا كنت تعمل مع عيّنة أو مع مجتمع كامل.

التباين العيّني (s²)

يُحسب التباين العيّني عند توفر عيّنة فقط من المجتمع. يُستخدم لتقدير تباين المجتمع ويُحسب بقسمة مجموع مربعات الفروق بين كل قيمة والمتوسط العيّني على عدد البيانات في العيّنة ناقص واحد (n-1). يُعرف هذا التعديل بتصحيح بيسل، ويُصحح الانحياز في تقدير التباين السكاني.

التباين السكاني (σ²)

يُحسب التباين السكاني عند توفر بيانات المجتمع بأكمله. يُحصل عليه بقسمة مجموع مربعات الفروق بين كل قيمة والمتوسط السكاني على العدد الكلي للبيانات في المجتمع (N). لا تحتاج هذه الصيغة إلى تصحيح، لأنها تعتمد على جميع البيانات المتاحة.

كيفية حساب التباين

لحساب التباين، تحتاج أولاً إلى إيجاد المتوسط الإحصائي لبياناتك. ثم اطرح المتوسط المحسوب من كل قيمة فردية، وارفع الناتج للتربيع، واجمع هذه المربعات. إذا كنت تعمل مع عيّنة، اقسم مجموع المربعات على عدد البيانات ناقص واحد (n-1) للحصول على التباين العيّني. وإذا كنت تعمل مع المجتمع بأكمله، اقسم على العدد الكلي للبيانات (N) للحصول على التباين السكاني.

صيغة التباين العيّني

حيث:

• n = حجم العيّنة.
• x_i = القيم الفردية.
• x = المتوسط الإحصائي للعيّنة.

صيغة التباين السكاني

حيث:

• N = حجم المجتمع.
• x_i = القيم الفردية.
• x = المتوسط الإحصائي للمجتمع.

كيفية حساب المتوسط الإحصائي

يُحسب المتوسط الإحصائي x بجمع جميع قيم العيّنة والقسمة على العدد الكلي للبيانات.

صيغة المتوسط الإحصائي

حيث:

• n = حجم العيّنة.
• x_i = القيم الفردية.

ما فائدة التباين؟

يساعدك التباين على فهم مدى اتساق أو تفاوت البيانات في مجموعة. تخيّل أنك تُقيّم درجات مجموعة من الطلاب في امتحان. إذا كان التباين منخفضًا، فهذا يعني أن معظم الطلاب حصلوا على درجات متقاربة، مما يُشير إلى أن الامتحان كان عادلاً للجميع. أما إذا كان التباين مرتفعًا، فهذا يدل على أن الدرجات متفرقة بشكل كبير، مما قد يُشير إلى أن بعض الطلاب وجدوا الامتحان أصعب بكثير من غيرهم.

باختصار، يتيح لك التباين رؤية كيفية تجمّع البيانات حول المتوسط وما إذا كان هناك تفاوت كبير أو قليل في المجموعة.