Fläche eines Quadrats

Was ist ein Quadrat?

Ein Quadrat ist ein Polygon mit vier gleich langen Seiten und rechten Winkeln. Alle Seiten sind kongruent (gleich lang) und die Diagonalen sind ebenfalls kongruent (gleich lang). Die Schnittpunkte werden als Eckpunkte bezeichnet, und von ihnen aus ergeben sich vier innere Winkel von je 90°.

Wie berechnet man die Fläche eines Quadrats?

Der Flächeninhalt eines Quadrats entspricht der Anzahl der Flächeneinheiten in seinem Inneren. Um ihn zu berechnen, müssen Sie zunächst die Länge seiner Seite (a) kennen, d. h. die Länge der Strecke, die zwei benachbarte Eckpunkte des Quadrats verbindet.

Formel zur Berechnung der Fläche eines Quadrats:

Praktisches Beispiel

Angenommen, Sie werden gebeten, die Fläche eines Quadrats zu berechnen, und Ihnen wird der Wert seiner Seite (a) mitgeteilt, den wir in diesem Beispiel auf 4 [cm] festlegen.

Ersetzen des Seitenwerts in die Formel für die Fläche

Wenn Sie bereits die Länge der Seite (4 cm) kennen, müssen Sie nur noch diesen Wert in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats einsetzen. Damit ergibt sich:

Berechnen der Fläche eines Quadrats aus seiner Diagonale

Es kann vorkommen, dass in einer Aufgabenstellung die einzige Angabe, die Sie haben, die Länge der Diagonale eines Quadrats ist. In solchen Fällen können Sie den Satz des Pythagoras verwenden, um die Seitenlänge des Quadrats zu bestimmen, da die Diagonale ein gleichschenkliges Dreieck mit Innenwinkeln von 45°, 45° und 90° bildet.

Formel des Satzes des Pythagoras

Nach Definition sind alle Seiten eines Quadrats gleich lang. Es ist also zulässig anzunehmen, dass bei jedem durch die Diagonale eines Quadrats gebildeten Dreieck die Basis und die Höhe gleich lang sind. Wenn wir die Diagonale als Hypotenuse betrachten, können wir die Formel des Satzes des Pythagoras wie folgt umschreiben:

Wenn wir die Seite in der Gleichung auflösen, ergibt sich folgende Beziehung:

Diese Beziehung gilt für alle Quadrate und ermöglicht es Ihnen, die Seitenlänge einfach mit jedem Rechner zu berechnen. Sobald Sie den Wert der Seite kennen, können Sie diesen in die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Quadrats einsetzen, die wir im oben stehenden gelben Kasten erwähnt haben.

Berechnen der Fläche eines Quadrats aus seinem Umfang

Die Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats aus seinem Umfang ist sehr einfach, da ein Quadrat per Definition vier gleich lange Seiten hat. Daraus folgt, dass die Seitenlänge eines Quadrats dem Umfang geteilt durch 4 entspricht.

Wenn wir die Formel für die Fläche des Quadrats ersetzen, haben wir:

Praktisches Beispiel

Angenommen, Sie werden gebeten, die Fläche eines Quadrats zu berechnen, das einen Umfang von 24 [cm] hat. Wenn Sie den Umfangswert in die Formel für die Fläche einsetzen, erhalten Sie: