Addiere, subtrahiere, multipliziere und dividiere Brüche und gemischte Zahlen. Das Ergebnis erscheint als gekürzter Bruch, gemischte Zahl und Dezimalzahl, mit Rechenweg Schritt für Schritt. Du kannst auch einen Bruch kürzen oder zwischen Dezimalzahl und Bruch umwandeln.
Gekürzter Bruch
Dezimalzahl
Gemischte Zahl
Rechenweg Schritt für Schritt
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Gekürzter Bruch
Dezimalzahl
Gemischte Zahl
Rechenweg Schritt für Schritt
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Gekürzter Bruch
Gemischte Zahl
Rechenweg Schritt für Schritt
Dezimalzahl
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Ein Bruch steht für einen Teil eines Ganzen und wird als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben. Der Zähler (oben) zeigt, wie viele Teile du nimmst, der Nenner (unten), in wie viele gleiche Teile das Ganze zerlegt wurde. Bei 3/4 nimmst du drei von vier Teilen: das entspricht 0.75, aber in exakter Form.
Ein echter Bruch hat einen kleineren Zähler als Nenner, der Wert liegt also zwischen 0 und 1. 1/2, 3/4 oder 5/8 sind echt: sie ergeben keine ganze Zahl.
Ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner, ist der Bruch unecht und mindestens 1 wert. 5/4, 7/3 oder 8/8 kann man auch als gemischte Zahl oder als ganze Zahl schreiben.
Eine gemischte Zahl verbindet eine ganze Zahl mit einem echten Bruch: 1 3/4 ist dasselbe wie 7/4. In diesem Rechner steht die ganze Zahl links vom Zähler; lässt du sie leer, rechnest du nur mit dem Bruch.
Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben (2/7 und 5/7), und ungleichnamig, wenn die Nenner verschieden sind (1/2 und 1/3). Zum Addieren oder Subtrahieren ungleichnamiger Brüche brauchst du einen gemeinsamen Nenner, fast immer mit dem kgV.
Ein unechter Bruch und eine gemischte Zahl drücken denselben Wert auf zwei Arten aus. In der Schule soll man oft vor dem Rechnen umwandeln oder das Ergebnis lesbarer lassen.
Eine gemischte Zahl wird zum unechten Bruch, indem du die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizierst und den Zähler addierst; der Nenner bleibt. 2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3. Im Formular ist das das Feld links.
Beispiel:
Vom unechten Bruch zur gemischten Zahl teilst du den Zähler durch den Nenner. Der Quotient ist die ganze Zahl, der Rest bleibt über demselben Nenner. 7/3 = 2 1/3, weil 7 = 2 × 3 + 1.
Beispiel:
Beim Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren von Brüchen rechnet man in der Schule nur mit Brüchen, echten oder unechten. Erscheint eine gemischte Zahl, wandelt man sie zuerst in einen unechten Bruch um: 2 1/3 = 7/3. Steht alles als a/b, rechnet man, kürzt und kann das Ergebnis größer als 1 unecht lassen oder wieder als gemischte Zahl schreiben.
Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner brauchst du keine gleichwertigen Brüche: addiere die Zähler und behalte den Nenner. 3/7 + 2/7 = 5/7. Kürze am Ende, wenn möglich.
Beispiel:
Sind die Nenner verschieden, ist der erste Schritt der Addition ein gemeinsamer Nenner. Am saubersten ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) beider Nenner. Jeder Bruch wird als gleichwertiger Bruch mit diesem Nenner geschrieben, dann addiert man die Zähler.
Du kannst die Nenner auch miteinander multiplizieren. Das funktioniert immer, ergibt aber oft eine größere Zahl als das kgV; nach dem Kürzen ist das Ergebnis dasselbe.
Beispiel:
Brüche subtrahieren folgt denselben Regeln wie das Addieren: bei Bedarf macht man die Nenner mit dem kgV gleichnamig und rechnet dann nur mit den Zählern. Der gemeinsame Nenner bleibt.
Bei gleichem Nenner subtrahierst du die Zähler und behältst den Nenner. 5/7 − 2/7 = 3/7. Ist der ggT nicht 1, kürzt du vollständig.
Beispiel:
Bei verschiedenen Nennern bestimmst du das kgV, schreibst die gleichwertigen Brüche und subtrahierst die Zähler. 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6.
Beispiel:
Zum Multiplizieren von Brüchen brauchst du keinen gemeinsamen Nenner: du multiplizierst Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. 1/2 × 2/3 = 2/6 = 1/3. Eine gemischte Zahl wandelst du vorher in einen unechten Bruch um.
Beispiel:
Brüche dividieren heißt mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren (umdrehen und malnehmen): aus 2/3 wird 3/2. Also 1/2 ÷ 2/3 = 1/2 × 3/2 = 3/4.
Beispiel:
Einen Bruch kürzen (ihn vollständig kürzen) ändert den Wert nicht: Zähler und Nenner teilst du durch ihren größten gemeinsamen Teiler (ggT), bis der Bruch nicht mehr kürzbar ist – so verlangt es die Schule.
Bei 12/18 ist der ggT von 12 und 18 gleich 6, also 12/18 = 2/3. Ist der ggT 1, war der Bruch schon gekürzt.
Beispiel:
Eine abbrechende Dezimalzahl schreibt man über eine Zehnerpotenz und kürzt: 0.75 = 75/100 = 3/4. Ist sie größer als 1, geht auch die gemischte Schreibweise: 1.5 = 3/2 = 1 1/2. Eine periodische Dezimalzahl wie 0.333… ist 1/3, nicht 333/1000.
Beispiel:
Vom Bruch zur Dezimalzahl teilst du den Zähler durch den Nenner. 1/2 = 0.5 ist eine abbrechende Dezimalzahl. Endet sie nicht, zeigen wir 6 Stellen und drei Punkte: 1/3 = 0.333333... und 1/7 = 0.142857.... Eine gemischte Zahl wird zuerst unecht: 2 1/3 = 7/3 = 2.333333....
Beispiel: