डेटा सेट का नमूना और समष्टि प्रसरण तुरंत निकालें, चरण-दर-चरण प्रक्रिया और माध्य विचलन निकालने के सूत्रों के साथ। दशमलव विभाजक के रूप में बिंदु का उपयोग करें।
नमूना प्रसरण
s² =
समष्टि प्रसरण
σ² =
1. अंकगणितीय माध्य (x):
योग: () / =
2. प्रत्येक मान से माध्य घटाएँ और वर्ग करें:
(xi − x)2 प्रत्येक संख्या के लिए
3. वर्ग अंतरों का योग:
Σ(xi − x)2 =
4. अंतिम प्रसरण के लिए भाग:
नमूना प्रसरण (s²): / ( − 1) =
समष्टि प्रसरण (σ²): / =
| # | xᵢ | xᵢ - x̄ | (xᵢ - x̄)² |
|---|---|---|---|
| योग (Σ) | 0 |
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प्रसरण एक सांख्यिकीय माप है जो डेटा सेट के उसके सांख्यिकीय माध्य के सापेक्ष प्रसार या परिवर्तनशीलता को मापता है। मूलतः प्रसरण बताता है कि व्यक्तिगत मान डेटा सेट के औसत से कितनी दूर हैं।
सरल शब्दों में, यदि सेट के सभी डेटा एक-दूसरे के बहुत समान हों, तो प्रसरण कम होगा, जो कम प्रसार दर्शाता है। इसके विपरीत, यदि डेटा काफी भिन्न हों, तो प्रसरण अधिक होगा, जो अधिक प्रसार संकेत देता है।
डेटा प्रसार मापने के लिए सांख्यिकी में दो मुख्य प्रकार के प्रसरण उपयोग होते हैं: नमूना प्रसरण और समष्टि प्रसरण। प्रत्येक अलग संदर्भ में लागू होता है, इस पर निर्भर कि आप नमूने या पूर्ण समष्टि के साथ काम कर रहे हैं।
नमूना प्रसरण तब निकाला जाता है जब समष्टि का केवल एक नमूना उपलब्ध हो। इसका उपयोग समष्टि प्रसरण का अनुमान लगाने के लिए होता है और प्रत्येक डेटा बिंदु तथा नमूना माध्य के बीच वर्ग अंतरों के योग को नमूने के डेटा बिंदुओं की संख्या घटा एक (n-1) से भाग देकर निकाला जाता है। यह समायोजन, बेसेल संशोधन के नाम से जाना जाता है, समष्टि प्रसरण अनुमान में पूर्वाग्रह सुधारता है।
समष्टि प्रसरण तब निकाला जाता है जब पूरी समष्टि का डेटा उपलब्ध हो। प्रत्येक डेटा बिंदु और समष्टि माध्य के बीच वर्ग अंतरों के योग को समष्टि में डेटा बिंदुओं की कुल संख्या (N) से भाग देकर प्राप्त होता है। इस सूत्र में संशोधन की आवश्यकता नहीं, क्योंकि यह सभी उपलब्ध डेटा पर आधारित है।
प्रसरण निकालने के लिए पहले अपने डेटा का सांख्यिकीय माध्य निकालें। फिर प्रत्येक व्यक्तिगत मान से निकाला माध्य घटाएँ, परिणाम का वर्ग करें, और इन वर्गों का योग करें। यदि नमूने के साथ काम कर रहे हैं, तो वर्गों के योग को डेटा बिंदुओं की कुल संख्या घटा एक (n-1) से भाग देकर नमूना प्रसरण पाएँ। यदि पूरी समष्टि के साथ काम कर रहे हैं, तो डेटा बिंदुओं की कुल संख्या (N) से भाग देकर समष्टि प्रसरण पाएँ।
जहाँ:
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सांख्यिकीय माध्य x̄ नमूने के सभी मान जोड़कर डेटा बिंदुओं की कुल संख्या से भाग देकर निकाला जाता है।
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