מחשבון ממוצע, חציון ושכיח

מהו ממוצע חשבוני (Mean)?

הממוצע החשבוני הוא סכום כל הערכים בקבוצת הנתונים מחולק במספר התצפיות הכולל. הוא מייצג את נקודת האיזון או הערך הטיפוסי המרכזי של ההתפלגות.

כיצד לחשב ממוצע חשבוני

הממוצע החשבוני מחושב על ידי סיכום כל ערכי הנתונים וחלוקת הסכום במספר התצפיות הכולל.

נוסחת הממוצע החשבוני

כאשר:

• n = גודל המדגם.
• x_i = הערכים הבודדים במדגם.

מהו חציון (Median)?

החציון הוא מדד מיקום מרכזי המייצג את הערך החוצה סדרת נתונים ממוינת לשני חצאים שווים בדיוק: 50% מהתצפיות קטנות ממנו או שוות לו, ו-50% מהתצפיות גדולות ממנו או שוות לו.

כיצד לחשב חציון

לחישוב חציון, ממיינים תחילה את הנתונים בסדר עולה (מהקטן לגדול). אם מספר האיברים (n) אי-זוגי, החציון הוא הערך הממוקם בדיוק באמצע. אם n זוגי, החציון הוא הממוצע החשבוני של שני הערכים האמצעיים.

עבור נתונים מקובצים במרווחים, מזהים תחילה את המחלקה החציונית ומחילים את נוסחת האינטרפולציה הליניארית:

נוסחאות החציון הסטטיסטי

עבור נתונים בודדים (מיקום האיבר האמצעי):

עבור נתונים מקובצים במרווחים (אינטרפולציה):

כאשר:

• n = סך כל התצפיות (סכום השכיחויות הכולל).
• L = הגבול התחתון של המחלקה החציונית.
• F = השכיחות המצטברת עד למחלקה שלפני החציון.
• f = השכיחות של המחלקה החציונית עצמה.
• c = רוחב מרווח המחלקה.

מהו שכיח (Mode)?

השכיח הוא הערך, התצפית או הקטגוריה המופיעים במספר הפעמים הגדול ביותר (בעלי השכיחות הגבוהה ביותר) בקבוצת הנתונים. ייתכנו מקרים של שכיח בודד (התפלגות חד-שכיחית), שני שכיחים (דו-שכיחית) או חוסר שכיח מובהק.

כיצד לחשב שכיח

בנתונים בודדים סופרים את מספר החזרות של כל ערך ובוחרים את בעל השכיחות המרבית. בנתונים מקובצים מאתרים את המחלקה בעלת השכיחות המקסימלית ומפעילים את נוסחת השכיח למרווחים:

נוסחאות השכיח הסטטיסטי

עבור נתונים בודדים:

עבור נתונים מקובצים במרווחים:

כאשר:

• L = הגבול התחתון של המחלקה השכיחה.
• d₁ = הפרש השכיחות בין המחלקה השכיחה למחלקה שלפניה.
• d₂ = הפרש השכיחות בין המחלקה השכיחה למחלקה שאחריה.
• c = רוחב מרווח המחלקה השכיחה.

מה ההבדל בין ממוצע, חציון ושכיח?

הממוצע מייצג את הממוצע המתמטי ומושפע מערכי קיצון; החציון מייצג את נקודת האמצע של הנתונים ועמיד בפני ערכים חריגים; והשכיח מייצג את הנתון הפופולרי ביותר. בהתפלגות סימטרית שלושת המדדים מתלכדים.

ההבדל בין נתונים מקובצים לנתונים בודדים

נתונים בודדים מוצגים כרשימת ערכים נפרדת. לעומת זאת, כאשר מאגר הנתונים גדול מאוד, מקבצים את התצפיות למרווחים וטבלאות שכיחות כדי לייעל את הניתוח הסטטיסטי.

דוגמה לטבלת שכיחויות של נתונים מקובצים

נתונים מקובצים מוצגים בטבלה לפי מרווחי גילאים ושכיחות:

במקרה זה, חישוב החציון והשכיח מתבצע באמצעות נוסחאות האינטרפולציה המיועדות לנתונים מקובצים.

דוגמה לנתונים בודדים (לא מקובצים)

רשימת תצפיות גילאים בודדות ללא קיבוץ:

עבור נתונים אלו, מיון הרשימה מציג את הערך המרכזי (חציון), בעוד שהערכים החוזרים על עצמם הכי הרבה פעמים (למשל 21 ו-23 המופיעים פעמיים כל אחד) מהווים את השכיחים.